Mathematik ist eine Kunstsprache. Sie kann nicht die Schönheit einer Blume oder das Brennen eines seelischen Schmerzes beschreiben, aber sie vermag wie keine andere Sprache wissenschaftliche Zusammenhänge präzise und unmissverständlich auszudrücken. Um das zu tun, benutzt sie Instrumente, die so wohlklingende Namen haben wie etwa «Gleichungssysteme», «Graphen», «Integrale», «Differentialgleichungen» usw. Jedes dieser Instrumente steht für raffinierte Methoden und Formalismen, die dazu dienen, Modelle herzustellen, die bestimmte Weltausschnitte möglichst adäquat und nützlich abbilden können.
Die hier vorliegenden Kapitel widmen sich dem Instrument der linearen Gleichungssysteme. Sie werden immer dann erfolgreich eingesetzt, wenn ein Problem oder eine Frage mithilfe einiger Gleichungen erfasst werden kann, die zudem besonders einfache (eben lineare) Gestalt haben. Es wird zunächst darum gehen, zu verstehen, welcher Art Probleme sein müssen, damit sie diesem Instrument überhaupt zugänglich werden; und in weiteren Schritten wird geklärt, wie solche Probleme mit mathematischer Sprache erfasst und mit geeigneten Verfahren gelöst werden können.
Mathematik ist eine spezielle Weise, auf die Welt zu schauen. Und überall dort, wo sie zupacken kann, liefert sie Resultate, zu der keine andere von Menschen geschaffene Disziplin fähig ist. Seien Sie nun herzlich willkommen in demjenigen Weltausschnitt, in dem die linearen Gleichungssystemen zu Hause sind.
Für kleinere Systeme funktionieren die Substitutionsmethode und die Additionsmethode recht gut. Es stellt sich die Frage, wie man bei bedeutend grösseren linearen Gleichungssystemen vorgehen müsste und ob solche überhaupt von praktischer Relevanz sind. Die Antwort auf die zweite Frage ist ein entschiedenes Ja.
Das Standardmodell der Physik versucht zu erklären, wie die Materie aufgebaut ist, aus welchen kleinsten Bausteinen sie besteht. Das Standardmodell dringt zu den Atomen und deren Bestandteilen vor und untersucht das Verhalten und die Interaktionen von Elektronen, Quarks, Photonen, Gluonen, Neutrinos und anderen Bausteinen unserer Welt. Neue Erkenntnisse auf diesem Gebiet werden hauptsächlich durch Teilchenkollisionen gewonnen: In grossen Teilchenbeschleunigern, etwa am CERN in Genf, beschleunigt man Elementarteilchen zu Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit und lässt sie dann aufeinanderprallen. Aus den in riesigen Detektoren beobachteten Kollisionen zieht man Rückschlüsse auf die Eigenschaften der beteiligten Elementarteilchen. Wenn man berechnen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei einer bestimmten Kollision bestimmte Teilchen entstehen, entstehen Tausende von linearen Gleichungen in Tausenden von Variablen.
Dieses Beispiel zeigt eindrücklich, dass Wege gefunden werden müssen, mit riesigen linearen Gleichungssystemen umgehen zu können. Eine von Hand durchgeführte Substitutionsmethode scheitert hier kläglich. Ziel dieses Hefts ist es, einen Algorithmus zu lernen, der erstens effizienter mit grösseren Systemen umgehen kann und der zweitens relativ einfach programmiert werden kann, sodass sogar die Möglichkeit einer automatischen Auflösung eines linearen Gleichungssystems mittels Computern in die Nähe rückt.
Bevor wir diesen berühmten Algorithmus besprechen, soll ein Kapitel vorangestellt werden, das die Gelegenheit gibt, Strategien zu lernen, mit denen gewisse (auf lineare Gleichungssysteme führende) Probleme erfolgreich gelöst werden können.
Viele Probleme, die in Wirtschaft, Technik und Verwaltung heute anfallen, sind so komplex, dass sie nur noch mit mathematischen Modellen befriedigend gelöst werden können. Einem bestimmten Typus praktisch relevanter Probleme (und der Lösungsmethode) widmen wir uns in diesem Band: den linearen Optimierungsproblemen. Verglichen mit der rund 4000-jährigen Mathematikgeschichte ist dies ein sehr junger Zweig der Mathematik. Der Algorithmus, der diese Methode ins Leben rief, wurde erst im Jahr 1946 geschaffen.
Die enorme praktische Bedeutung linearer Optimierung wurde sehr schnell verstanden. So wurde die Methode bereits zu Beginn der 1950er-Jahre dazu benutzt, zu berechnen, an welchen Standorten Erdölraffinerien angelegt werden müssen, damit die Öltransporte insgesamt möglichst preisgünstig ausfallen. Und im Jahr 1958, beim Wiederaufbau der Stadt Moskau, wurde die Methode benutzt, um zu berechnen, wie der Transport von Kies aus 10 Gruben zu 230 Baustellen in der Stadt möglichst kostensparend organisiert werden konnte.
Den Anstoss zur Schaffung dieser mathematischen Methode haben also eindeutig praktische Bedürfnisse gegeben. Wir nähern uns der linearen Optimierung, indem wir ein Kapitel über lineare Ungleichungssysteme an den Anfang stellen; auf solche Systeme nimmt die Methode nämlich immer Bezug. Erst danach machen wir die lineare Optimierung zum Zentrum unserer Untersuchungen.
"...beste Einführung, die ich zur Zeit kenne..."
(Dr. F. Brand, Berlin)
"... sehr gute Auswahl für Einsteiger ... übersichtlich, locker, ansprechend, flüssig ..."
(Prof. G. Gramlich, FH Ulm)
"Ein historischer Überblick, die Definition, Eigenschaften und Effizienz von Algorithmen sowie viele Beispiele - das sind genau die Themen, die ein Einsteiger über dieses Gebiet erfahren möchte und die er in diesem Buch auch vermittelt bekommt. (...) Der Inhalt des Buches wird sehr übersichtlich für den Leser dargestellt. (...) Dieses Buch werde ich meinen Studenten empfehlen, weil gerade Ingenieur- und vor allem Physikstudenten mit Problemstellungen konfrontiert werden, die mit den klassischen (theoretischen) mathematischen Betrachtungen, wie sie heute in den Mathematikvorlesungen vermittelt werden, nicht mehr allein gelöst werden können. Eine Beschäftigung mit numerischen Verfahren und deren Implementierung sowie die Diskussion über die Effizienz und Komplexität von Algorithmen spielt eine immer grösser werdende Rolle. Das vorliegende Buch leistet einen Beitrag, die Studenten an diese für sie neue Disziplin heranzubringen."
(Dr. J. Thierfelder, Technische Universität Ilmenau)
